OPC 的邻域到底要取多大？

光学邻近效应校正（Optical Proximity Correction，OPC）要根据周围图形预测当前图形的成像，再调整掩模边缘。整层版图通常无法在每一步都按同一细网格完整计算，于是需要回答一个具体问题。计算一条边时，周围的版图到底要读多远？

可用的邻域，是在指定模型、版图集合、工艺条件和容许误差下，经过验证可以省略更外围细节的范围。 光学作用距离可以帮助确定初始尺度，最终的取值仍要落到边缘误差、拓扑失效和优化结果上。前向成像的读取范围、优化变量的更新范围，以及迭代时的同步范围，也需要分别定义。

本文先从 Maxwell 方程、材料与边界条件出发，逐步进入薄掩模和部分相干成像；再从衍射尾部推到光强误差、边缘位置和优化依赖。Mack 的 Proximity Distance 是历史经验的起点。[1] 全文另外对照经典成像理论、OPC 算法、反应扩散论文和工业公开文档。正文中的数值分为文献原始设定、明确条件下的算术例子，以及随文程序实际运行的教学结果。研究与核验截至 2026 年 11 月 1 日。

1．先把“多大”说清楚

设准备交付结果的核心区域为 $C$，它可以是一个 tile 的内部，也可以是一组待校正边段。为计算核心区域而额外读取的外围版图称为 halo 或 buffer。若采用每个方向扩展 $R$ 的正方形邻域，读取区域为

\[D=C\oplus B_R,\qquad B_R=\{(x,y)\mid |x|\leq R,\ |y|\leq R\}. \tag{1}\]

$\oplus$ 表示 Minkowski 和，即把区域向外扩展。本文的 $R$ 默认是晶圆侧的单边扩展距离。圆形截断、矩形截断和沿边段方向的搜索范围，可以有不同定义；同名软件参数也未必指同一个量。

至少要核对下面几个容易混用的尺寸。

名称	要确认的对象	容易出现的误读
interaction radius、ambit radius	单点可读取的单边距离	被当成整块图像的边长
kernel support width、interaction diameter	核的总宽度或直径	被直接拿来与半径比较
halo width	相对 core 的外围扩展	被当成相邻两个读取区域的总重叠宽度
core size	最终拥有并写出结果的区域	与包含 halo 的计算区域混为一谈
mask scale、wafer scale	掩模侧或晶圆侧尺寸	忽略缩小倍率，产生数倍差异

例如，两个紧邻的 core 各向边界外扩展 $R$，其读取区域在该方向的重叠宽度可达 $2R$，每块的单边 halo 仍为 $R$。对缩小倍率为 $M$ 的投影系统，晶圆侧的 $R$ 对应掩模侧 $MR$。倍率和坐标约定必须随数据一起给出。

文献中的数字也要按这个口径读。Yu 与 Pan 的 2007 年 ICCAD 论文使用 193 nm 波长、NA 为 0.8、常规照明 $\sigma=0.7$、6 个成像核和晶圆侧 1 nm 网格，明确给出 600 nm interaction radius。这是该论文算法实验的设定。[2] Cobb 的 1998 年博士论文则描述有限数值核支持域及局部轮廓，并报告特定实验中的 1.28 μm 支持域宽度。[3] 两个数字既有模型条件差异，也有半径与宽度差异，不能直接用大小判断谁计算得更充分。

2．从 Maxwell 方程开始，先确定求解对象

OPC 的输入是几何，物理系统直接响应的却是电磁场。对时间因子采用 $e^{-i\omega t}$、线性介质且无外加体电流的区域，频域电场满足

\[\nabla\times\!\left(\boldsymbol\mu^{-1}\nabla\times\mathbf E\right) -\omega^2\boldsymbol\varepsilon\mathbf E=0. \tag{2}\]

这里的 $\boldsymbol\varepsilon$、$\boldsymbol\mu$ 分别是介电率和磁导率，掩模厚度、侧壁、吸收层及膜堆都进入这些系数和几何边界。还必须指定入射场、材料界面条件，以及散射场向外辐射的条件。没有表面电流时，界面两侧切向 $\mathbf E$ 与 $\mathbf H$ 连续。MIT 的电磁学讲义可用于核对场与能流的基础关系；Schädle 等的光刻掩模散射论文则直接列出了这一频域方程、辐射条件与界面匹配。[4][5]

式（2）是局部微分方程，但“方程局部”不意味着“解只依赖有限距离内的几何”。边界条件与传播会把其他区域的信息带入解中。忽略外围几何，相当于改变了所求的边值问题；Maxwell 方程本身没有给出一个通用于所有结构的硬截断半径。

胶最终响应的是吸收与化学过程。对线性、各向同性、非磁性吸收介质，若损耗已计入复介电率，单位体积的时间平均吸收功率为

\[q_{\rm abs}(\mathbf r)=\frac{\omega}{2} \operatorname{Im}\varepsilon(\mathbf r)\,|\mathbf E(\mathbf r)|^2. \tag{3}\]

式中 $\varepsilon$ 是绝对介电率；若使用相对介电率，还需乘 $\varepsilon_0$。这个表达式由谐波场的功率耗散直接得到。膜内反射、驻波、偏振和高度都会改变场，随后还要经过产酸、后烘、显影等过程。因此必须先确定验收对象是空气中的图像、胶内某一高度的图像，还是三维胶形貌。Liu 等的全芯片三维光刻框架将掩模、胶和晶圆形貌分开讨论，也说明单个二维胶轮廓会漏掉某些三维问题。[6]

为了让整层 OPC 可计算，通常逐层引入近似。下表中每一步都有自己的验证责任。

从什么模型走向什么模型	引入的条件或近似	扩大邻域能否单独解决其误差
三维电磁散射 → 薄掩模透过率 $m(\mathbf r)$	用局部复透过率代替厚度方向及边缘散射	不能恢复模型中缺失的掩模三维响应
矢量传播 → 标量传播	忽略或简化偏振、纵向场和矢量耦合	不能恢复被舍去的场分量
一般成像 → 局部平移不变算子	在所讨论区域内使用同一组响应核	不能替代场依赖、膜堆或像差模型
连续成像 → 有限核数、有限窗口和网格	通道压缩、空间截断与离散化	扩大窗口只改善其中的空间部分
胶内吸收与化学 → 阈值轮廓	用紧凑模型代替过程演化	需要另行校准并验证胶模型

Kirchauer 的博士论文按标量衍射、矢量扩展、光源积分与严格电磁模型组织了这些层次。[7] 以下推导将明确停留在薄掩模、标量、局部平移不变的成像模型上；它给出可分析的邻域误差，但不把这些近似等同于完整物理。若厚掩模的出射场依赖照明角度，式（6）中的固定 $m$ 也需要相应的源点依赖或更完整的电磁表示；多读几圈相同的薄掩模版图，不能补回这种响应。Liu 等 §2.1 对此给出了具体讨论。[6]

还有一个容易混用的“分块”。严格电磁求解器可以把空间分区，用透明边界、PML 和界面迭代交换场；Schädle 等正是这种做法。[5] OPC 的 halo 则通常是给紧凑成像算子提供版图上下文。前者要正确耦合边值问题，后者要控制模型输入的截断。两者都需要处理边界，参数的物理含义和收敛标准却不同。

3．部分相干成像真正对哪些距离敏感

在上述标量模型下，先不要引入任何经验半径。以下的场与光强采用一致的归一化单位，平均入射强度设为 1，波阻抗等常数已吸收进单位；场的模平方不再直接表示以 W/m² 计的辐照度。单次照明实现产生的像面场为

\[U(\mathbf x)=\int h(\mathbf x-\mathbf r) m(\mathbf r)E_{\rm inc}(\mathbf r)\,d\mathbf r. \tag{4}\]

把光强写成时间或统计平均 $I=\langle UU^*\rangle$，定义入射场的互强度

\[J_{\rm inc}(\mathbf r_1,\mathbf r_2) =\langle E_{\rm inc}(\mathbf r_1)E_{\rm inc}^*(\mathbf r_2)\rangle,\]

直接展开乘积，就得到空间域的双重积分

\[\begin{aligned} I(\mathbf x)=\iint &h(\mathbf x-\mathbf r_1)h^*(\mathbf x-\mathbf r_2) m(\mathbf r_1)m^*(\mathbf r_2)\\ &\times J_{\rm inc}(\mathbf r_1,\mathbf r_2) \,d\mathbf r_1d\mathbf r_2. \end{aligned} \tag{5}\]

这里同时存在两种距离。传播核关心 $\mathbf x-\mathbf r_1$ 和 $\mathbf x-\mathbf r_2$；相干性关心两处掩模位置之间的 $\mathbf r_1-\mathbf r_2$。这一区别正是不能把相干长度直接当作观察点邻域半径的原因。

若照明由互不相干的平面波源点组成，令 $S(\mathbf s)$ 为其归一化权重，有

\[I(\mathbf x)=\int S(\mathbf s) \left|\int h(\mathbf x-\mathbf r)m(\mathbf r) e^{i2\pi\mathbf s\cdot\mathbf r}\,d\mathbf r\right|^2d\mathbf s. \tag{6}\]

这就是逐源点传播后作非相干强度叠加的 Abbe 表示。把积分顺序交换，能够得到 Hopkins 的 TCC 表示；其经典出处为 Hopkins 1953 年论文，具体实现推导可在 Kirchauer §§4.3.1–4.3.2 核对。[7][8] 式（5）与式（6）在所列条件下描述同一个成像过程；它们没有额外假设一个有限邻域。

围绕观察点把掩模分成近区 $N$ 和远区 $F$，双重积分也分成

\[I=I_{NN}+2\operatorname{Re}I_{NF}+I_{FF}. \tag{7}\]

近远区之间的相关性减弱，会压低部分 $I_{NF}$，但不强制 $I_{FF}$ 消失。远处相邻的两点仍可能彼此相关，远区自身的强度贡献也仍然存在。充分非相干的极限尤其清楚，交叉干涉消失以后，剩下的是各处强度经强度点扩散函数叠加。MIT 的相干成像讲义分别推导了这两种极限。[9]

因此，相干长度控制的是哪些成对贡献还能有效干涉；邻域半径控制的是对某个输出点省略了哪些输入位置。 两者相关，却没有可以直接互换的定义。有效邻域还必须考虑光瞳尾部、远区面积、实际透过率、相位，以及边缘对光强的敏感程度。

4．衍射没有一个自动归零的邻域边界

在标量、薄掩模、局部平移不变的模型下，一种常用的部分相干成像表示为

\[\begin{aligned} u_k(\mathbf x)&=(h_k*m)(\mathbf x),\\ I(\mathbf x)&=\sum_{k=1}^{K}w_k|u_k(\mathbf x)|^2, \qquad w_k\geq0. \end{aligned} \tag{8}\]

$m$ 是掩模的复振幅透过率，$h_k$ 是相干通道的空间核，$w_k$ 是通道权重。SOCS（相干系统之和）通过分解部分相干成像算子得到这种结构。Cobb 的论文系统讨论了它与局部轮廓计算的关系。[3]

这里有两种不同的压缩。减少 $K$ 是舍弃部分成像通道；缩小 $h_k$ 的空间支持域，是舍弃较远的版图贡献。保留更多通道，并不会自动补回每个通道已经被裁掉的空间尾部。

空间尾部可以从最简单的例子看出来。对一维理想狭缝光瞳

\[P(f)=\begin{cases}1,&|f|\leq f_c,\\0,&\text{其他},\end{cases}\]

按 $e^{i2\pi fx}$ 的傅里叶约定，其振幅脉冲响应为

\[h(x)=\int_{-f_c}^{f_c}e^{i2\pi fx}\,df =2f_c\operatorname{sinc}(2f_cx), \qquad \operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}. \tag{9}\]

频率支持域有限，空间响应仍有振荡尾部。某个零点之后还会出现旁瓣，因此不能把“第一零点”“某个衍射斑半径”直接当作模型作用范围。实际数值模型会采用有限窗口、截断或局域化近似，这些处理需要按最终误差验证。

还应区分读取窗口不足与模型本身的核不足。核已经只保留 $R_0$ 范围时，把版图读取到 $10R_0$，也不会让算子重新看见被裁掉的贡献。核、版图上下文和 FFT 边界条件必须一起检查。

5．从遗漏的光强，推到边缘会偏移多少

把半径 $R$ 内的场记为 $u_{k,R}$，外围遗漏的场记为 $\delta u_k$。在有限版图或离散计算域上，有

\[u_k=u_{k,R}+\delta u_k,\]

以及

\[I-I_R=\sum_kw_k\left[ 2\operatorname{Re}(u_{k,R}^*\delta u_k)+|\delta u_k|^2 \right]. \tag{10}\]

式（10）是把模平方直接展开的结果。外围贡献中包含与本地电场的交叉项。只查看外围单独产生的强度 $\vert \delta u_k\vert ^2$，可能漏掉更大的干涉项。

若需要一个保守检查，可对每个通道定义有限版图上的尾部幅值界

\[B_{k,R}(\mathbf x)= \int_{\Omega\setminus(\mathbf x+B_R)} |h_k(\mathbf x-\mathbf y)|\,|m(\mathbf y)|\,d\mathbf y.\]

由三角不等式得到

\[|I-I_R|\leq\sum_kw_k\left( 2|u_{k,R}|B_{k,R}+B_{k,R}^2\right). \tag{11}\]

$\Omega$ 是本次纳入分析的有限版图域。这个界说明了为什么图形透过率、相位和外围面积都可能影响截断误差。它通常偏保守，也不宣称理想衍射核在无限平面上绝对可积。

成像误差还需要转成制造关心的位置误差。设某一条正常的局部轮廓由阈值关系 $I(n)=I_{\rm th}$ 定义，$n$ 是沿边缘法向的坐标。对于阈值不变、斜率非零、轮廓拓扑未改变的小扰动，

\[\delta n\simeq-\frac{\delta I}{\partial I/\partial n}. \tag{12}\]

取特征宽度 $w$，定义用于比较幅值的归一化图像对数斜率

\[\mathrm{NILS}=w\left|\frac{\partial\ln I}{\partial n}\right|,\]

则

\[\frac{|\delta n|}{w} \simeq\frac{1}{\mathrm{NILS}} \frac{|\delta I|}{I_{\rm th}}. \tag{13}\]

Mack 的 NILS 教程及邻近距离教程都用边缘斜率联系图像变化与尺寸控制。[1][10] 式（13）的直接工程含义是，同一份光强误差，落在低 NILS 图形上，会产生更大的边缘误差。邻域验证应覆盖线端、接触孔、颈缩和离焦条件，不能只看图像平均误差。

当轮廓接近桥连或断裂、局部斜率接近零、阈值曲线出现或消失时，式（12）和式（13）的小扰动近似失效。此时必须直接比较轮廓与连通性。

6．为什么相干性会改变需要关注的距离

考虑一个教学算例。边缘位置的归一化光强为 0.25，$w=40\,\mathrm{nm}$，NILS 为 2，分配给邻域近似的单边位置误差为 $0.2\,\mathrm{nm}$。由式（13）得到

\[|\delta I|\lesssim 0.25\times2\times\frac{0.2}{40}=0.0025. \tag{14}\]

这些数值用于说明量纲和误差传播，不代表某个生产层的规格。

若远处图形与本地图形完全不相干，远处的强度 $I_2$ 直接加到本地强度上，$I_2\approx0.0025$ 就会达到这个误差尺度。若两者相干，在最不利的同相、小振幅近似下，

\[\delta I\simeq2\sqrt{I_1}\,|E_2|.\]

由于 $\sqrt{I_1}=0.5$，$\vert E_2\vert \approx0.0025$ 就能达到同样的光强变化，而这一小振幅自身对应的强度仅为

\[|E_2|^2\approx6.25\times10^{-6}.\]

这组强度与振幅的差别也是 Mack 2008 年教程中用来解释相干邻近作用的例子。[1] 在含有相干干涉的模型里，用“远处单独产生的强度已经很小”判断可以忽略，条件并不充分。

真实光刻照明具有部分相干性。其入射场的归一化互相干函数，可以由归一化光源分布 $S(\mathbf s)$ 写成

\[\mu(\mathbf d)= \frac{\int S(\mathbf s)e^{i2\pi\mathbf s\cdot\mathbf d}\,d\mathbf s} {\int S(\mathbf s)\,d\mathbf s}. \tag{15}\]

$\mathbf s$ 是折算到所用空间坐标的照明空间频率，$\mathbf d$ 是两点间距。式（15）来自把互不相干源点产生的相关性相加。它解释入射照明的空间相干结构；最终图像的邻近误差还要经过光瞳、掩模和成像积分，不能直接把 $\vert \mu\vert $ 的一个阈值替代 EPE 验证。

把式（15）限制到一维，可以很清楚地看到“光源外侧半径”与“单个极的宽度”的区别。均匀光源 $[-a,a]$ 给出 $\mu(d)=\operatorname{sinc}(2ad)$。两个相同窄极，中心位于 $\pm s_0$、各自半宽为 $a$，则有

\[\mu(d)=\cos(2\pi s_0d)\operatorname{sinc}(2ad). \tag{16}\]

极的位置带来振荡，极的宽度影响包络。即使最外侧位置相近，宽光源和两个窄极也可能具有很不相同的相关结构。

二维环形、偶极或四极照明还会引入方向性。沿两个方向使用同一个标量半径，可能只是便于实现的保守包围盒，不能由此认为两个方向的物理相关性相同。

7．二维圆形光瞳，怎样把尾部累积成误差预算

前面的狭缝光瞳给出一维振幅尾部。现在换成一个可以解析积分的二维例子，专门检查“远处每一点都很弱，所以总和也很弱”这个判断。

取无像差、无渐晕的理想圆形光瞳，截止频率 $f_c=\mathrm{NA}/\lambda$，$\lambda$ 为真空波长，坐标已折算到晶圆侧。对圆盘频域积分，得到径向相干响应

\[h(r)=2\pi\int_0^{f_c}fJ_0(2\pi fr)\,df =\frac{f_cJ_1(2\pi f_cr)}{r}. \tag{17}\]

$J_\nu$ 是第一类 Bessel 函数。为比较累计能量，将模平方归一化为积分等于 1 的强度 PSF

\[p(r)=\frac{|h(r)|^2}{\pi f_c^2} =\pi f_c^2\left[\frac{2J_1(v)}{v}\right]^2, \qquad v=2\pi f_cr. \tag{18}\]

半径 $R$ 之外的能量比例为

\[T(R)=\int_R^\infty2\pi r p(r)\,dr =\int_{v_R}^\infty\frac{2J_1(v)^2}{v}\,dv =J_0(v_R)^2+J_1(v_R)^2, \quad v_R=2\pi f_cR. \tag{19}\]

这个尾部积分可以直接核对。由 $J_0^{\prime}=-J_1$ 和 $J_1^{\prime}=J_0-J_1/v$，有

\[\frac{d}{dv}(J_0^2+J_1^2)=-\frac{2J_1^2}{v}.\]

再使用无限远处趋于零，就得到式（19）。递推、导数与大参数渐近式均可在 NIST DLMF §§10.6、10.17 核对。[11] 单点强度的远场包络按 $r^{-3}$ 衰减；但一圈的面积元还有 $2\pi r\,dr$，积分后留下

\[T(R)\sim\frac{2}{\pi v_R} =\frac{1}{\pi^2f_cR},\qquad f_cR\longrightarrow\infty. \tag{20}\]

也就是说，局部强度下降很快，累计尾部仍只有 $1/R$ 的渐近衰减。用随文程序实际计算得到

圆形半径 $R/(\lambda/\mathrm{NA})$	半径以外的总能量比例 $T(R)$
0.609835，第一暗环	约 16.2215%
5	约 1.99444%
10	约 1.00518%
20	约 0.504594%

这些比例属于理想 PSF 的积分，尚未说明某个实际版图会产生相同的光强误差。为了把它变成一个清楚的界，再加上完全空间非相干、输入强度透过率 $0\leq a(\mathbf r)\leq1$ 的条件，此时归一化图像满足 $I=p*a$。如果把圆形邻域外的输入置零，

\[0\leq I(\mathbf x)-I_R(\mathbf x) =\int_{|\mathbf x-\mathbf r|>R}p(\mathbf x-\mathbf r)a(\mathbf r)\,d\mathbf r \leq T(R). \tag{21}\]

外围全亮的无限区域达到这个上界，足够大的亮环可以逼近它。有限版图、遮光面积或单独计算的远场背景通常会收紧这个界。这个不等式也不适用于直接估计部分相干场的干涉交叉项。

沿用前文式（14）的教学预算，$w=40\,\mathrm{nm}$、NILS 为 2、阈值 0.25，允许边缘误差为 0.2 nm，对应小扰动光强预算 0.0025。在本节的保守强度界下，解 $T(R)=0.0025$，得到

\[R\approx40.4592\,\frac{\lambda}{\mathrm{NA}}. \tag{22}\]

这个数是为满足所选最坏情况光强界而算出的圆形半径，不是某个工艺所需半径的预测，也没有证明该 PSF 下必然存在达到这些局部边缘条件的生产版图。它的作用是显示预算、维数和外围面积都会进入答案，因此不能从第一暗环或一个固定倍数推导出普适的截断上限。后文 Mack 的历史估算仍可用来安排扫描，但不能替代这里的条件检查。

数值核查没有直接把振荡积分截到任意远处并宣称剩余为零。程序分别对从零到各测试半径的径向能量积分，再加式（19）的解析剩余；7 个测试位置的归一化残差最大约为 $6.7\times10^{-16}$。这是解析关系与双精度数值积分的一致性检查，不是实际镜头或胶模型的精度证明。

对相干和部分相干模型，应回到场或互强度。有限版图上还可用 Cauchy–Schwarz 不等式写出 $\vert\delta u_k\vert\leq\Vert h_{k,F}\Vert_2\Vert m_F\Vert_2$，再代回式（10）。其中第二项会随外围透光面积增长。只控制核的 $L^2$ 尾能量，仍不足以脱离输入版图直接给出统一的场误差。

8．相干长度能提供什么初始估计

在其教程的定义和示例下，Mack 用

\[\ell_{\rm coh}\sim\frac{\lambda}{\sigma_{\rm eff}\mathrm{NA}} \tag{23}\]

描述空间相干长度尺度，并给出一个粗略的邻近距离估计，即相干长度的约两倍，最高取到约 $20\lambda/\mathrm{NA}$。[1] 可把它记作待验证的扫描起点

\[R_{\rm seed}\sim \min\left(\frac{2\lambda}{\sigma_{\rm eff}\mathrm{NA}}, \frac{20\lambda}{\mathrm{NA}}\right). \tag{24}\]

这里的 $\sigma_{\rm eff}$ 要与所讨论的光源宽度及方向对应。常规圆盘源的参数、离轴极的中心位置、极的半宽和环形源的外半径，不能不加区分地代入同一个式子。式（24）也是针对教程的成像、图形和容差背景给出的历史经验，其中的 20 不能被解释为任意工艺、任意精度下的严格上界。

例如仅作算术演示，取 $\lambda=193\,\mathrm{nm}$、NA 为 1.35，则 $\lambda/\mathrm{NA}\approx143\,\mathrm{nm}$。

代入的 $\sigma_{\rm eff}$	式（23）的尺度	式（24）的扫描起点
0.5	约 286 nm	约 572 nm
0.2	约 715 nm	约 1.43 μm
0.1	约 1.43 μm	约 2.86 μm

这张表解释为什么相同的波长和 NA 仍可能产生不同的初始邻域估计。它没有经过某款设备、光刻胶和产品版图的校准，不能作为生产配置表。误差要求更严格、图像斜率更低，或者模型增加了其他非局域效应，都可能要求继续扩展扫描。

9．离焦、光刻胶、刻蚀与 flare 怎样改变邻域

光学参考为什么必须覆盖离焦

先只改变像面的位置。对均匀折射率 $n$ 中的标量角谱传播，去掉与频率无关的整体相位后，离焦 $z$ 给光瞳带来

\[P_z(\mathbf f)=P_0(\mathbf f) \exp\!\left\{i2\pi z\left[\sqrt{(n/\lambda)^2-|\mathbf f|^2}-n/\lambda\right]\right\} \simeq P_0(\mathbf f)e^{-i\pi\lambda z|\mathbf f|^2/n}. \tag{25}\]

右边是近轴展开，不能直接当作高 NA 矢量成像的完整公式。Kirchauer §4.2.1 用平面波分解给出了相应的离焦光程及近轴展开。[7] 光瞳的频率截止没有改变，空间核的相位、旁瓣与轮廓斜率却会改变；光瞳边缘的近轴相位尺度为 $\pi z\mathrm{NA}^2/(n\lambda)$。因此，标称焦点下通过的邻域，不保证在焦点与剂量窗口边缘同样通过，也不能简单声称半径随离焦量单调增加。

工艺算子的空间依赖

OPC 最终约束的对象可能是显影后轮廓，也可能包括刻蚀后的结构。光学成像只给出其中一部分依赖。

若一个已经截断并验证的光学算子具有有效范围 $R_{\rm opt}$，其输出还要经过有效范围 $R_{\rm proc}$ 的空间处理，那么一次局部预测所需的原始版图范围可能达到

\[R_{\rm total}\leq R_{\rm opt}+R_{\rm proc}. \tag{26}\]

这是有限支持算子复合的依赖关系。二维非圆形支持域更准确的表达是两个支持集合的 Minkowski 和。纯粹的逐点非线性函数不新增空间范围；又做一次卷积、局部空间特征提取或非局域处理，则需要继续追踪输入依赖。各项截断误差也要单独分配，不能只把几个半径相加就宣称满足精度。

化学放大型光刻胶中的反应扩散，还不能普遍压成“把最后一刻的酸浓度模糊一下”。Mack 的 2006 年教程明确区分终态分布与参与脱保护的时间积分，并指出无酸损失等简化条件。[12] 因此，把某个名为 diffusion length 的拟合参数直接加到 halo 上，需要先了解该模型的定义和离散实现。

更具体地，Byers、Smith 与 Mack 的 2004 年论文列出了酸 $A$、碱 $Q$ 和未反应聚合物比例 $M$ 的耦合过程。采用常数系数的简化形式，

\[\begin{aligned} \partial_t A&=D_A\nabla^2 A-k_qAQ,\\ \partial_t Q&=D_Q\nabla^2 Q-k_qAQ,\\ \partial_t M&=-k_aAM. \end{aligned} \tag{27}\]

积分第三式得到 $M(t)=M(0)\exp[-k_a\int_0^t A(\tau)\,d\tau]$。它依赖的是酸浓度的时间积分，而不是只取后烘结束时的酸图。原论文编号为 10a–c 的方程与编号为 11 的方程直接对应这两个步骤。[13]

即使去掉淬灭，只剩无限均匀介质中的常系数扩散，其 $d$ 维 Green 函数也为

\[G(\mathbf r,t)=(4\pi Dt)^{-d/2} \exp[-|\mathbf r|^2/(4Dt)],\qquad t>0. \tag{28}\]

$G$ 在任意有限距离外都不严格为零。因而 $\sqrt{Dt}$ 一类扩散长度同样是尺度量，并不是硬支持域；有效半径要结合尾部预算、时间累积、反应与膜内边界确定。对真实胶模型，不能不核对定义，就把一次 Gaussian 模糊或某个扩散长度当作完整过程范围。

用多尺度表示处理长程背景

对于更长程的 flare，盲目把整个细网格 halo 扩展到其作用范围，计算成本可能很大。IBM 的公开专利描述了短程、近中程计算与全芯片密度图、长程核相结合的架构。[14] Kim 等关于 EUV flare 的 2008 年论文也在出版社可读摘要和章节节选中，将全芯片 flare map 与短程 ambit 的计算区分开。[15]

这提供了一种有依据的工程思路。局部衍射用细网格和相应上下文处理，长程背景场用单独的空间表示计算，再按模型约定耦合。长程场的网格、密度近似、插值以及曝光场边界仍需验证。把远场忽略掉，与用经过验证的远场摘要替代细节，是两种不同的近似。

这里用 EUV flare 说明多尺度问题，不将 2008 年文章中的量级和性能当作当前设备指标。若模型预测目标包含刻蚀 loading 或其他工艺空间效应，其范围也应按相应模型重新测定。

10．局部响应，为什么不能保证局部最优校正

OPC 不仅在算图像，也在求让边缘回到目标位置的掩模修改。设第 $j$ 个掩模边段位移为 $p_j$，第 $e$ 个输出轮廓的法向位置为 $n_e$。在固定阈值、正常可微轮廓下，对 $I(n_e;\mathbf p)=I_{\rm th}$ 隐式求导，得到

\[\frac{\partial n_e}{\partial p_j} =-\frac{\partial I_e/\partial p_j}{\partial I_e/\partial n}, \qquad \frac{\partial I_e}{\partial p_j} =2\operatorname{Re}\sum_kw_k u_k^*(\mathbf x_e) \left[h_k*\frac{\partial m}{\partial p_j}\right](\mathbf x_e). \tag{29}\]

这里的控制点在当前线性化时刻取定，$\partial m/\partial p_j$ 表示边段移动带来的掩模变化，可以用边界形状导数或一致的栅格近似实现。低图像斜率会放大边段到轮廓的灵敏度。若阈值本身依赖图像，则应对完整隐式轮廓函数求导，不能沿用只含 $I$ 的分母。

Lin 等 2011 年的稀疏矩阵 MB-OPC 论文直接使用控制点强度对边段位移的 Jacobian，并通过 sensitive area 筛选需要计算的矩阵项。[16] 本文式（29）进一步把强度灵敏度写成边缘位置灵敏度，二者不应混用。

即使前向 Jacobian $J$ 只连接附近边段，求解 $J\Delta\mathbf p=-\mathbf e$ 或带正则项的正规方程时，其逆一般也不是有限带宽。一个完全独立于光刻配方的数学例子是

\[J_{ij}=\delta_{ij}-\alpha(\delta_{i,j-1}+\delta_{i,j+1}), \qquad0<\alpha<\tfrac12. \tag{30}\]

$J$ 只耦合相邻三个位置，但 $J^{-1}=\sum_{k\geq0}(\alpha A)^k$，其中 $A$ 是链的邻接矩阵。有限链中 $\Vert\alpha A\Vert_2<1$，级数收敛；经过越来越长路径的项使逆矩阵跨越多个邻接距离。误差传播可以衰减，却不在固定两层之后严格归零。

这一推导说明，前向的空间截断、一次更新所需的灵敏度范围，以及最终逆问题的协调范围，是不同的问题。后文的 $2R$ 是特定局部损失下一次独立完整梯度的依赖，并不是最终校正解的通用作用半径。多轮交换信息可以逐步传播影响；带全局约束、密度项或共同正则项的优化，还必须直接追踪那些额外依赖。

11．前向看够了，梯度为什么仍可能不完整

对有有效支持半径 $R$ 的前向模型，计算 core $C$ 内的图像，读取 $C\oplus B_R$ 就能满足该有限支持模型的一次成像依赖。

现在把问题改为计算 core 内掩模变量的完整梯度。设全域目标函数为

\[\mathcal L(m)=\sum_{\mathbf x} \ell\big(I_m(\mathbf x),T(\mathbf x)\big), \tag{31}\]

$T$ 为目标图像，损失 $\ell$ 在每个输出点上局部计算。core 内的一个掩模变量会影响距离它 $R$ 内的图像点。这些图像点的正确值，又需要更外围 $R$ 内的掩模。因此，如果每块要独立算出自己拥有的掩模变量的完整梯度，可能需要读取到

\[C\oplus B_R\oplus B_R=C\oplus B_{2R}. \tag{32}\]

D2S 的公开专利用图 11A 和 11B 明确说明了一层 halo 用于成像、第二层 halo 用于保证中心区域泛函导数完整的依赖。[17]

这条推导有明确条件。它针对有限支持前向算子、全域可分解损失和一次完整局部梯度。边段式 OPC 的更新规则、带空间项的损失、胶算子和滤波，会形成各自的依赖链。不能把式（32）变成“所有 OPC 都应把光学半径乘二”。

计算架构也能改变单次需要读取多少数据。例如，把全域损失按输出 core 唯一划分，每块先算对自己负责的输出和损失，再将反传到邻块掩模上的梯度贡献发送给相应 owner，最终累加。这样可通过分阶段通信恢复依赖，无须把所有中间步骤都封装成一次独立的大窗口计算。

TSMC 的同步并行专利描述了重叠区域和中间像素值的协调方案。[18] FuILT 的 2024 年论文则讨论分层切块、重叠区域的梯度融合以及较大尺度的边界修复。[19] 这些材料说明边界协调需要进入算法本身。它们不能证明任意形式的梯度平均都与全域真实梯度相等。

12．足够宽的 halo，也会因冻结而失效

设 tile A 和 B 相邻。A 在第 $t$ 轮仍使用 B 的初始图形，而 B 已经更新数轮，那么 A 看到的上下文就与当前全局掩模不一致。

扩大 halo 会增加 A 起初读到的内容，却不会自动更新这些内容。多轮优化会把影响沿邻接关系传播。一次前向计算已经满足的局部性，不能直接推广成任意多轮独立优化都等价于全域同步优化。

若要与给定的同步全域更新作严格对照，应分别保证本轮读取相同版本的状态、收集完整的梯度或边段响应、遵循相同的变量归属和更新顺序，并按约定交换新状态。D2S 专利对每轮更新后刷新相邻 halo 有直接描述。[17]

其他工程方案可以采用受控异步、边界冻结后修复、分阶段优化或重叠区协调，但验收对象应是该方案实际产生的完整掩模。两个单块各自收敛，并不充分保证拼接后的整体结果满足要求。SRAF 等辅助图形若在邻块发生增删，也属于需要更新的上下文。

13．两个可复现的教学实验

13.1 有振荡尾部的标量成像

第一个实验采用一维狭缝光瞳，按式（9）生成 $h(x)=2\operatorname{sinc}(2x)$。全部横向坐标以 $\lambda/\mathrm{NA}$ 归一化，频率单位为其倒数。中央透光区为 $[-0.4,0.4]$，外围另放置 7 个透光区间，其余区域不透光。完整区间坐标随程序公开。

计算域为 $[-32,32]$，主网格间距为 $1/128$。三组光源分别是单源点、均匀分布于 $[-0.7,0.7]$ 的宽光源，以及中心位于 $\pm0.65$、各自半宽为 0.08 的两个窄极。宽光源使用 81 点 Gauss–Legendre 积分，两个窄极各使用 81 点。FFT 有足够零填充以执行线性卷积，截断核不重新归一化。

对每个半径，提取中央图形强度为 0.25 的左右边缘，比较其与 $R=32$ 参考的最大位置差。这里的 EPE 是截断计算相对参考计算的边缘位置差，并不等于相对芯片设计目标的最终制造 EPE。

本次单源点算例在 $R=12$ 时的最大边缘差约为 $8.50\times10^{-4}$，在 $R=16$ 时却增至约 $4.99\times10^{-3}$。两个窄极的算例，在 $R=6$ 时约为 $2.85\times10^{-4}$，在 $R=8$ 时约为 $1.67\times10^{-3}$。单位均为 $\lambda/\mathrm{NA}$。这说明在固定版图上，新增外围贡献可能破坏先前的相消关系，误差并不保证随每一次半径增加而单调下降。

右图使用的只是已采样半径上的尾部包络，没有证明连续半径之间或未测试版图上的上界。实际工程可以据此采用多个半径、更多图形和较大参考，并对出现振荡的区间补充采样。

参考计算还做了细化检查。把网格间距减半至 $1/256$、每个连续光源区间的积分点数从 81 增加至 161，三组参考边缘的最大变化分别约为 $2.77\times10^{-5}$、$2.85\times10^{-5}$ 和 $1.37\times10^{-5}$ 个归一化长度单位。把参考半径从 32 改为 40，没有改变这些中心边缘，因为所有非零掩模图形及其到中心的距离已经被纳入。低于上述细化差异的细节不用于推断物理精度。

这个实验没有二维圆形光瞳、三维掩模、胶化学、真实焦深和晶圆数据，不能换算成某个工艺的 halo 推荐值。它回答的是截断误差可能怎样变化，以及验证程序应当留意什么。

13.2 前向、梯度与迭代同步分别验证

第二个实验有意采用严格有限支撑的简化核，以便隔离分块依赖。核的半径为 8 像素，形状为截断 Gaussian；掩模共有 512 个采样点，每个 core 为 128 点。目标函数为

\[\mathcal L=\frac12\sum_x\left[(h*m)^2(x)-T(x)\right]^2.\]

对实对称核，梯度可以直接写成

\[\nabla_m\mathcal L =2h*\left[\big((h*m)^2-T\big)(h*m)\right]. \tag{33}\]

程序先用有限差分核对这个梯度，再比较不同分块方案。每轮步长为 0.1，掩模变量裁剪到 $[0,1]$，共迭代 80 轮。

本轮运行的比较	最大绝对差
半径 $R$ 的 halo 独立计算 core 完整梯度，对照整域梯度	0.02027844
半径 $2R$ 的 halo 独立计算 core 完整梯度，对照整域梯度	小于 $10^{-12}$
$2R$ halo 每轮同步，最终掩模对照整域同步结果	小于 $10^{-12}$
$2R$ halo 保留初始外围状态，最终掩模对照整域同步结果	0.09074708

表中的单位都是归一化模型变量。有限差分与解析梯度的单点检查差约为 $9.14\times10^{-10}$。近零差异源自本例有限支撑、相同离散算子和同步更新的结构，不是生产精度声明。

14．怎样把候选半径变成可信配置

真正的取值流程，需要同时回答两个问题。第一，分块或截断实现是否足够接近所选模型的高精度参考。第二，这个参考模型是否足够接近独立晶圆量测。前一个问题验证计算近似，后一个问题验证物理预测；两者不能互相替代。

固定定义，分配误差预算

先写清预测的是哪个高度的显影后轮廓、刻蚀后尺寸，还是其他观测量；再指定晶圆侧尺寸、半径形状、工艺条件以及 core 的结果归属。

从总允许误差中，给邻域近似分配单独预算 $\varepsilon_{\rm nbr}$。测量不确定度、模型残差、采样、核数、空间截断、几何转换和优化停止误差需要分别理解。没有统计独立或零均值依据时，不能把所有误差按平方和开根号合并；在需要保守控制时，应采用相应的界或直接比较最终结果。

建立较大而且经过检查的参考

在能承受的版图上，用更大邻域、更充分的核数与光源积分、更细采样建立参考。改变参考半径和网格，确认关键观测量已经足够稳定。参考需要包括产品环境、层边界以及所用模型规定的长程项。

若所有候选和参考都漏掉同一个 flare 项，彼此一致也不能证明物理模型正确。若参考依然在变化，应继续研究变化来源，不能把最大的一次计算自动命名为真值。

先固定掩模，再扫描邻域

保持同一份掩模不动，仅改变读取范围或核截断，隔离前向近似。对图形集合 $\mathcal P$、工艺条件集合 $\mathcal C$ 和对应关键边缘点 $e$，可以定义

\[E_{\rm nbr}(R)= \max_{p\in\mathcal P,\ c\in\mathcal C,\ e} |n_{p,c,e}(R)-n_{p,c,e}(R_{\rm ref})|. \tag{34}\]

有一致轮廓对应、且没有拓扑变化时，式（34）是一个清楚的验收量。另行统计新增桥连、断线、缺孔、SRAF 打印及其他失效。不能让一个较低的平均 EPE 抵消关键图形上的单个严重失效。

半径序列应跨过初始估计并继续向外测试，不能只比较 $R$ 与略大的 $R+\Delta R$。当曲线振荡时，补充半径和外围图形扰动。对已测试序列 $R_i$，可以记录

\[\overline E_i=\max_{j\geq i}E_{\rm nbr}(R_j),\]

作为取样尾部的保守摘要；它仍需要版图覆盖和参考充分性支撑。

再检查优化，而后检查完整输出

若前向比较合格，再测试梯度、边段灵敏度或实际采用的更新规则。改变 tile 大小和切块原点，使同一关键图形分别落在 core 内部、边、角附近。比较多轮优化后的完整掩模，检查跨边界 EPE、掩模几何规则和结果归属。

验证时应重新读取拼接后的完整输出，而不是继续沿用各 tile 缓存的局部图像。用于签核的评价范围也要充分，否则优化和验证可能重复使用同一个过短邻域，共同漏掉问题。

下面这张表可用于挑选验证图形。它是按误差机制整理的测试建议，不是通用于所有层的完整签核规范。

图形或条件	希望暴露的问题
孤立线、密集线及连续 pitch 扫描	孤密差、照明选择性与不同空间频率
线端、拐角、颈缩、接触孔阵列	低斜率和二维拓扑变化
SRAF 邻近主图形、辅助图形在边界外	上下文遗漏与优化后环境变化
大透光区、明暗场转换及密度阶跃	很多远处贡献累积、长程背景
横向、纵向、斜向图形与不同照明方向	核和照明的各向异性
焦点与剂量边界，而非只有标称点	条件改变后的 NILS、轮廓和窗口
tile 边、角、芯片或曝光场边界	不同边界条件、读取、写出与同步
拟合时未使用的外围环境	模型参数是否把缺失上下文吸收进拟合

最后一项尤其容易被忽略。如果每次缩短邻域都重新拟合模型，某些参数可能补偿训练集中的遗漏贡献。训练误差接近，并不充分证明模型在不同外围环境中具有相同的预测能力。应保留独立环境的验证集，并同时报告固定参数的截断误差与重新校准后的预测误差。

15．FFT 和几何处理会产生另一类“邻域问题”

读取了足够的图形，也不等于卷积已经正确。FFT 直接计算的是周期卷积。长度为 $N$ 的离散输入与长度为 $K_h$ 的核，要获得完整线性卷积，一维 FFT 长度至少需要 $N+K_h-1$；二维分别满足相应条件，或采用经过验证的 overlap-save、overlap-add 和有效区裁取。

物理作用范围、参与计算的数组以及最后写出的 core，需要使用一致的坐标、核中心和裁取偏移。周期环绕污染、半像素偏移、几何裁切和重复写入，都可能表现为“边界误差”，继续增大物理 halo 未必能修正其原因。D2S 专利也专门讨论了 FFT 周期边界与插值带来的非局域影响。[17] SciPy 的官方卷积文档明确区分完整线性卷积、有效区和同尺寸裁取，并提示零填充可能产生可见的边界效应；同尺寸输出本身不能证明边界条件正确。[20]

对版图几何，还要保持层次变换、曲线或多边形裁切、相位和透过率、掩模实际外部背景的一致性。计算域之外究竟是透光、不透光、周期重复，还是已计算的长程背景，是模型条件的一部分，不能由文件读取失败后的默认零值代替。

16．范围确定以后，再优化 tile 成本

设正方形 core 的边长为 $L$，单边 halo 为 $R$。忽略芯片最外缘和任务不均衡，一次前向读取的面积倍率为

\[\rho_{\rm fwd}=\frac{(L+2R)^2}{L^2} =\left(1+\frac{2R}{L}\right)^2. \tag{35}\]

若独立完整梯度按式（32）读取到 $2R$，相应面积倍率为

\[\rho_{\rm grad}=\left(1+\frac{4R}{L}\right)^2. \tag{36}\]

举例说，$L=4\,\mu\mathrm m$、$R=1\,\mu\mathrm m$ 时，前向读取面积是 core 的 2.25 倍，双层读取是 4 倍。若把 core 边长减至 2 μm，两个倍率分别变为 4 和 9。以上只计算面积，不等于实际运行时间。

较小的 tile 易于放入内存，也可能更利于负载均衡，但会增加重叠处理和任务数量。较大的 tile 可以降低 halo 比例，却可能增加 FFT 工作区、单任务内存和调度不均衡。合理顺序是先确定所需的准确性和依赖范围，再联动优化 tile、核表示、批处理和通信，记录端到端耗时与内存。

如果采用按图形风险变化的邻域，应为局部放大、相邻任务一致性和独立验证建立明确规则。低 NILS 或复杂边界可以触发更严格检查；自适应不能只以当前小窗口中的低误差作为充分依据。

17．一次取值应留下什么记录

与其只留下“halo 为 1 μm”，更有用的是记录一份可复查的配置依据。

项目	最少应记录的内容
模型	波长、NA、实际光源、偏振与像差条件、胶及其他空间项
数值表示	核数、核截断与窗函数、采样、FFT padding、插值
范围定义	半径或宽度、坐标尺度、支持域形状、core 与读取域
精度	邻域误差预算、参考收敛、最大与尾部 EPE、拓扑失效
版图覆盖	产品环境、极端图形、独立验证集和外围扰动
优化协议	变量 owner、梯度或灵敏度汇总、邻域刷新时机
边界验收	tile 大小及原点扰动、边与角、完整输出复算
资源	实际工作流的时间、峰值内存、通信与版本

更换照明、工艺窗口、胶模型、核、采样或产品图形分布后，应按变化影响重新验证其中相关部分。一个附带这些条件的半径，才有机会在下一版流程中被可靠复用。

研究方法与材料范围

本篇采用围绕明确工程问题的技术资料研究。除 OPC ambit、interaction radius、kernel truncation、halo、coherence 和 flare 外，补查了 Maxwell scattering、vector imaging、Hopkins/Abbe、Airy encircled energy、reaction diffusion 与 sparse Jacobian，并追踪作者原文、大学讲义、官方数学文档和工业公开说明。它不声称完成穷尽式系统综述，也未使用保密 PDK 或工业配方。

参考文献中的教程用于基础解释和历史经验归属，算法论文用于核对明确实验条件，专利用于确认已公开的计算依赖与架构。专利的描述不自动证明某款产品采用该方案。文献 [15] 本轮只读到出版社摘要及章节节选，未据其未读全文引用实验表格或量化收益；[8] 只核对 Crossref 书目信息和经典论文归属，具体数学关系用已读取的 [7] 与本文推导核对；[5] 读取的是作者 2006 年 ZIB 报告版本，并核对 2007 年期刊版元数据，未将两版页码混用。

三类结果分别解释。Maxwell 方程与谐波能量关系是所列材料假设下的物理基础；薄掩模、标量、平移不变、阈值和有限核是模型假设；圆形 PSF 尾积分、误差传播与矩阵例子是在这些条件下的数学推导。数值算例检验实现和误差机制，不替代晶圆标定。

需要继续依赖具体工艺的数据包括实际瞳函数和光源、掩模与膜堆、胶及刻蚀参数、允许误差、版图环境和签核条件。缺少这些输入时，公开文献无法给出一个可信的生产半径。

所有六张图均由随文程序作科学绘图，不使用图像生成模型，不复制原论文图。程序、结果和图表源文件随发布包提供。本文由 AI 协助检索、推导整理、程序编写与文字起草；数值结果来自已执行程序，文献和论断在同一流程内核查，未接受独立外部评审。

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